公平性

公平性

我們首先先來回顧五子棋的公平性問題,再來看六子棋的公平性。

五子棋的公平性問題

五子棋「傳統一般規則」(指的是沒有任何禁手的棋規)的不公平理由很簡單:每當黑方下出一步後,比白方盤面多一顆子;然而每當白方下出一步後,盤面子數卻只能與黑方打平。最近幾年,有電腦專家已經證明出先下必勝的結論。遠在1903年日本棋院就限制雙三、雙四、長連等禁著,並稱之為連珠棋(Renju),專業棋士仍然認為對黑有利,電腦專家後來也又證明連珠棋仍然是先下必勝

1998年國際五子棋協會(Renju International Federation: RIF)發展了新的五子棋國際規則,限制許多開局的下法,來更進一步限制黑方的優勢。但對頂尖專業棋士或程式而言,公平性的要求是相當高的。若某些棋型被證明出必勝或必敗,對頂尖專業棋士或程式就少了一些變化。國際連珠棋專家也了解這問題,也對這問題有一些相關的討論。 最近2003年RIF又繼續提出要徵求新的五子棋國際規則。至於,對未來的國際連珠棋,相信會有不錯的改良,但目前我們無法評論。

過去五子棋的公平性問題,也產生了一個副作用:那就是讓棋盤變小。Sakata及Ikawa兩位提到愈大的棋盤,愈增加黑方獲勝的機會,因此需要縮小棋盤大小,這就是現有五子棋15x15的棋盤。然而很矛盾的是小棋盤反而讓電腦更容易算出五子棋的勝負。

公平的定義

Van den Herik、Uiterwijk、Van Rijswijck等人於2002年,給了「公平」一個很好的定義,如下:若該遊戲是平手的遊戲,且雙方犯錯機率是相等的話,則可稱此遊戲是公平的。然而,「雙方犯錯機率是相等」的數學模式很難建立;這是因為若有新的下棋策略被發明後,則犯錯機率算法就會不同,就會影響公平性。因此,很難用建立數學模式來證明公平。

反過來,要證明不公平則比較容易且可行的。以下是Wu、Huang、Chang於2005年的定義(參見connect6.pdf):

  • 明確不公平性(definite unfairness):若已經證明出一方必勝,則此遊戲可稱為明確不公平。例如:用一般規則的五子棋為明確不公平的。
  • 單調不公平性(monotonical unfairness):若已經證明出一方必然不會必勝,但尚無法證明另一方必然不會必勝,則此遊戲可稱為單調不公平。例如:K子棋中Connect(m,n,k,p,p),可用策略盜用論點(Strategy-stealing arguments),證明白方必然不會必勝;因此,Connect(6,1,1),Connect(7,1,1),Connect(6,2,2)等皆為單調不公平的。然而,因為Connect(8,1,1)已被證明雙方平手,所以已不是單調不公平的。
  • 經驗上不公平性(empirical unfairness):若大多數棋士尤其是專業棋士經過實際的下棋經驗認定一方必勝或有極高勝率,則此遊戲可稱為經驗上不公平。例如:在早期用一般規則的五子棋,已被一般棋士認定是黑方必勝;因此在當時可稱為經驗上不公平

從以上定義,我們定義潛在公平性如下:

  • 潛在公平性(potential fairness):若該遊戲尚未被證明出或論證為明確不公平單調不公平經驗上不公平的話,則此遊戲可稱為潛在公平

依據此定義,一個目前為潛在公平的遊戲,不見得能持續在未來仍為潛在公平;一個遊戲能持續為潛在公平愈久,則成為公平的機會就愈高。

脫離戰場

脫離戰場是下棋的戰略之一,是指將棋下在遠離戰場的一端。初始脫離戰場是指白的第一手棋遠離黑的第一子。

若初始脫離戰場沒有對白棋造成不利的後果,則當黑去擋這些白棋後,會成為類似Connect(6,2,2);很明顯,這會形成為單調不公平

六子棋的公平性問題

對六子棋來說,每當一方下出一步(兩子)時,該方一定比對方多出一顆子。直觀上,這很自然地使得六子棋具有相當的公平性;當然如上所言,我們仍然不能依此論證六子棋是絕對公平的。但是,我們至少可以依據以下論點,來論證六子棋目前仍是潛在公平的:

  • 目前,尚無人能證明六子棋是明確不公平
  • 目前,尚無人能證明六子棋是單調不公平。另外,我們已在Wu、Huang、Chang的論文中證明白方不能 採用初始脫離戰場策略,否則黑方勝。這個理論暗示雙方必須從中心點開始纏鬥;且我們不能從上述初始脫離戰場理論,推論出單調不公平性。另外,我們最近也證明了一些「黑必勝」的白開局(參見定石譜);這些白開局都是對黑擋的不夠。
  • 目前,尚無人能證明六子棋是經驗上不公平。目前,已有許多六子棋好手(請見http://groups.msn.com/connect6)及程式(參見定石譜)研究許多定石及詰棋,尚無人能認定對某方有利。例如:詰棋一中的白6&7,本來認定是白必勝,但目前發現其實還有待更深入的研究。

當然,我們希望且歡迎更多的人加入這方面的研究,來獲得更多的證據。此遊戲的公平性,確實需要長時間的驗證。

註:公平不必然等同於好玩。例如:井字遊戲或 Connect(8,1,1),雙方必和;但因為只要依據必和的下法,專業上的可玩度不高。但若有不公平現象,確實很難成為一項專業遊戲。